Корені квадратного рівняння

Рішення квадратних рівнянь вельми важливо для вирішення практичних завдань з фізики, так як багато формули мають старшу ступінь 2, в програмуванні та багатьох інших суміжних дисциплінах. Способів вирішити рівняння не так багато, але чим більше рівнянь ви вирішуєте, тим швидше і простіше стає знаходження коренів. Сьогодні ми розглянемо рішення повних квадратних рівнянь стандартної форми.

Квадратне рівняння

Квадратне рівняння – це рівняння, старша ступінь якого дорівнює 2. Таке рівняння завжди має два кореня, іноді ці корені збігаються, а іноді їх немає серед дійсних чисел. В останньому випадку, ми пишемо, що дійсних коренів немає.

У квадратному рівнянні стандартної форми, є три коефіцієнта:

  • а-перший коефіцієнт
  • в-другий коефіцієнт
  • з-вільний член рівняння.

Стандартна форма рівняння записується так:

a ^ 2 * х + у * х + с = 0  – де а, в, с – чисельні коефіцієнти.

Коефіцієнт а може дорівнювати 1, тоді старший член записується без чисел. Коефіцієнт при невідомому рівний 1 ніколи не пишеться, просто мається на увазі.

Види квадратного рівняння

Квадратні рівняння бувають повні, де всі коефіцієнти мають числові значення, і неповні, де другий коефіцієнт або вільний член дорівнює нулю.

Якщо перший коефіцієнт дорівнює 1, то рівняння називають наведеним та його можна вирішити двома способами. Якщо а> 1, спосіб вирішення тільки один.

Способи знаходження коренів квадратного рівняння
Стандартний спосіб визначення коренів рівняння – через дискримінант. Цей спосіб працює з будь-яким квадратним рівнянням, незалежно від його виду і коефіцієнтів. Якщо перед нами наведене квадратне рівняння, то можна скористатися теоремою Вієта. Вона вимагає деякого досвіду, але при певному навику прискорює рішення рівняння в кілька разів.

Використання теореми Вієта дозволяє не відволікатися на проміжні обчислення в задачах і легкі приклади, продовжуючи вирішувати далі.

Теорема Вієта

Теорема Вієта говорить, що якщо x1 і x2 – коріння квадратного рівняння, то їх сума дорівнює -в, а твір с. Це не зовсім те, що потрібно для вирішення, але зворотна теорема говорить про те, що, якщо сума двох чисел дорівнює -в, а твір числа с, то ці числа і є корені рівняння.

Різниця двох теорем в тому, що в першій вже є готові коріння, а друга допомагає нам їх знайти.

Наведемо приклад і вирішимо наведене повне квадратне рівняння стандартної форми.

 х2 + 3х-10 = 0 – це рівняння наведене, значить скористаємося теоремою, зворотної теоремі Вієта.

x1 + x2 = -3

x1 * x2 = -10

Твір чисел негативно, значить один з коренів негативний. Причому негативний корінь більше позитивного на 3, так як результат складання вийшов негативним. Почнемо перебір і знайдемо коріння квадратного рівняння для цього прикладу. Припустимо, що один з коренів дорівнює 3, тоді:

 3-6 = -3 

3 * (- 6) = – 18 $$ – не співпало.

Спробуємо 2:

2-5 = -3

2 * (- 5) = – 10

Ось так, перебором і вирішується рівняння. Чим більше розв’язаних прикладів, тим швидше підбір. Але недосвідчений учень може вирішувати цим способом дуже довго. Тому на контрольні й іспити, якщо ви не впевнені в собі, краще використовувати стандартний спосіб обчислення.

Дискримінант

Дискримінант це число, що характеризує рівняння. Коріння квадратного рівняння рівні.

При цьому дискриминант дорівнює:

D = b2-4ac

Майте на увазі, дискриминант може дорівнювати 0 і бути негативним. Але в першому випадку, коріння збігаються, а в другому – дійсних коренів немає.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, як вирішуються квадратні рівняння. Привели два способи вирішення і сказали, в якому випадку можна, а в якому не можна користуватися теоремою Вієта. Привели формулу знаходження дискримінанту і рішення через це значення.

ПОДІЛИТИСЯ: