Ірраціональні рівняння

Рівняння,в яких під знаком кореня буде міститися мінлива,називаються в математиці ірраціональними.Прикладом ірраціонального рівняння може служити наступне рівняння:

3?x-5=0.

Для наочності викладу розглянемо наступний приклад: розв’язати рівняння?(x ^ 2-5)=2.Спочатку необхідно позбутися від кореня.Зведемо обидві частини рівняння в квадрат,отримаємо:

x ^ 2-5=4.

Наведемо подібні доданки,отримаємо x ^ 2=9.Корінням цього рівняння будуть числа x=3 і x=-3.Якщо підставити ці числа у вихідне рівняння,то отримаємо вірні рівності:

?(3 ^ 2-5)=2,
?((-3) ^ 2-5)=2.

Отже,x=3 і x=-3 будуть корінням цього рівняння.

Відповідь: х=3,х=-3.

Приклади розв’язання ірраціональних рівнянь
Але не завжди рівняння вирішуються так просто.Розглянемо наступний приклад: розв’язати рівняння?x=x-2.Зводимо за аналогією обидві частини цього рівняння у квадрат.Отримуємо x=x ^ 2-4*x + 4.

Наводимо подібні доданки і отримуємо таке квадратне рівняння x ^ 2-5*x-4=0.Вирішуємо це рівняння будь-яким з відомих способів,отримуємо два кореня x=1 і x=4.Підставимо ці коріння в наше вихідне рівняння,тим самим виконаємо перевірку.

?4=4-2.

Вийшло правильне рівність отже х=4 є коренем цього рівняння.Підставляємо 1:

?1=-1.У лівій частині отримали від’ємне число-1,а в правій одиницю.Рівність не виконується.Отже,х=1 не є коренем цього рівняння.

Відповідь: х=4.

Таким чином,ми переконалися,що при вирішенні ірраціональних рівнянь можуть вийти побічні коріння.І всі рішення отримані рішення необхідно перевіряти.

Також рівняння може не мати рішень.Наприклад,таке рівняння?(x-6)=?(4-x) при вирішенні дає один корінь: х=5.Але якщо його підставити,то не вийде вірного рівності.Отже,дане рівняння не має рішень.

Бувають випадки,коли зручніше не підставляти отримані коріння,а відразу вирішувати рівняння,використовуючи рівносильні переходи.Приклад: розв’язати рівняння?(x-2)=x-8

За визначенням?(x-2) не може бути негативним числом.Отже,і права частина рівняння не може бути негативною.Тоді вихідне рівняння рівносильне наступній системі:

{ X-2=(x-8) ^ 2

{ X-8 >=0.

Вирішимо перше рівняння системи.Воно буде рівносильно квадратного рівняння x ^ 2-17*x + 66=0.Вирішивши його,отримаємо коріння х=11 і x=6.Умова,записане в другому нерівності системи,буде виконано тільки для кореня х=11.Отже,це і буде відповіддю рівняння.

Відповідь: х=11.

Посилання на основну публікацію