Формули додавання

Формули додавання служать для того, щоб виразити через синуси і косинуси кутів а і b, значення функцій cos (a + b), cos (ab), sin (a + b), sin (ab).

Формули додавання для синусів і косинусів
Теорема: Для будь-яких a і b справедливо наступне рівність cos (a + b)=cos (a)*cos (b)-sin (a)*sin (b).
На ньому, точки Ma, Mb, M (a + b), отримані поворотом точки Мо на кути a, -b, і a + b відповідно. З визначень синуса і косинуса координати цих точок будуть слеюующімі: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); sin (a + b)). УголМоОМ (a + b)=уголМ-bОМа, отже дорівнюють трикутники Моом (a + b) і М-bОМа, причому вони рівнобедрені. А значить, рівні і підстави МоМ (а-b) і М-bМа. Отже, (МОМ (а-b)) ^ 2=(М-bМа) ^ 2. Скориставшись формулою відстані між двома точками, отримаємо:

(1-cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2=(cos (-b)-cos (a)) ^ 2 + (sin (-b)-sin (a)) ^ 2.

sin (-a)=-sin (a) і cos (-a)=cos (a). Перетворимо наше рівність з урахуванням цих формул і квадрата суми і різниці, тоді:

1-2*cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2=(cos (b)) ^ 2-2*cos (b)*cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 +2*sin (b)*sin (a) + (sin (a)) ^ 2.

Тепер застосуємо основне тригонометричне тотожність:

2-2*cos (a + b)=2-2*cos (a)*cos (b) + 2*sin (a)*sin (b).

Наведемо подібні і скоротимо на-2:

cos (a + b)=cos (a)*cos (b)-sin (a)*sin (b). Що і потрібно було довести.

Справедливі також такі формули:

cos (a-b)=cos (a)*cos (b) + sin (a)*sin (b);
sin (a + b)=sin (a)*cos (b) + cos (a)*sin (b);
sin (a-b)=sin (a)*cos (b)-cos (a)*sin (b).
Дані формули можна отримати з доведеною вище, використовуючи формули приведення і заміною b на-b. Для тангенсів і котангенсів теж існують формули додавання, але вони будуть справедливі не для будь-яких аргументів.

Формули додавання тангенсів і котангенсів
Для будь-яких кутів a, b крім a=pi / 2 + pi*k, b=pi / 2 + pi*n і a + b=pi / 2 + pi*m, для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:

tg (a + b)=(tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a)*tg (b)).

Для будь-яких кутів a, b крім a=pi / 2 + pi*k, b=pi / 2 + pi*n і ab=pi / 2 + pi*m, для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:

tg (a-b)=(tg (a)-tg (b)) / (1 + tg (a)*tg (b)).

Для будь-яких кутів a, b крім a=pi*k, b=pi*n, a + b=pi*m і для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:

ctg (a + b)=(ctg (a)*ctg (b)-1) / (ctg (b) + ctg (a)).

Для будь-яких кутів a, b крім a=pi*k, b=pi*n, ab=pi*m і для будь-яких цілих k, n, mбудет справедлива наступна формула:

ctg (a-b)=(ctg (a)*ctg (b) +1) / (ctg (b)-ctg (a)).

Посилання на основну публікацію