Доведіть, що множина простих чисел нескінченна

Одним із властивостей простих чисел є твердження, що безліч простих чисел нескінченно (т. Е. Серед простих чисел немає найбільшого).

Довів це властивість простих чисел ще Евклід, використовуючи метод від протилежного. Доказ виглядає приблизно так. Припустимо, що безліч простих чисел звичайно, інші числа є складовими. Знайдемо добуток всіх існуючих простих чисел і до цього результату додамо одиницю. Зрозуміло, що вийшло число більше будь-якого з простих. З припущення, що безліч простих чисел звичайно, випливає, що вийшло число складене. Але якщо воно складене, то повинно при розкладанні на множники містити прості множники. Однак це не можуть бути множники, які використовувалися при утворенні цього числа, т. К. До результату була додана 1, і, отже, твір вже не ділиться без остачі на жодне з них (буде виходити залишок 1). Таким чином, приходимо до висновку, що існують інші прості числа, крім використаних.

Наприклад, 2 * 3 * 5 * 7 + 1 = 211. Число 211 само є простим.
2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 2311. Число 2311 також просте.

[Т. е. Твір всіх підряд йдуть простих чисел від першого і до певного і плюс 1 завжди буде давати просте число? Перевіряємо:
2 * 3 + 1 = 7,
2 * 3 * 5 + 1 = 31.
Але якщо числа йдуть не від першого простого і не підряд, то в результаті просте число не завжди виходить:
3 * 5 * 7 + 1 = 106 (складене)
2 * 5 * 7 + 1 = 71 (просте)
2 * 3 * 7 + 1 = 43 (просте)
3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 1156 (складене)
3 * 11 * 13 + 1 = 430 (складене)
2 * 3 * 11 * 13 + 1 = 859 (просте)
Виходить, що число 2 в цій формулі (n = p1 * p2 * … + 1) завжди призводить до простого числа в результаті, незалежно від того, які взяті інші прості числа. Без нього завжди виходить складене, також незалежно від того, як і якій кількості взяті прості.]

Взагалі-то, то що число, отримане за формулою n = p1 * p2 * … + 1, де безліч p – прості числа, що починаються з першого і йдуть підряд, також буде простим доводиться. Адже якщо n не ділиться ні на одне з ряду p, то немає інших простих чисел до нього, крім нього самого.

ПОДІЛИТИСЯ: