✅Докази властивостей модуля

Існують наступні властивості модуля дійсних чисел:

1) | a + b | ≤ | a | + | b |;

2) | ab | = | a | × | b |;

3), a ≠ 0;

4) | a – b | ≥ | a | – | b |.

Проведемо докази, розглядаючи різні випадки значень a і b.

Доказ 1) | a + b | ≤ | a | + | b |:

Якщо a і b – позитивні числа, то їх модулі збігаються з їхніми значеннями: | a | = a, | b | = b. З цього випливає, що | a + b | = | a | + | b |.

Якщо a – негативне число, а b – позитивне число, то вираз | a + b | можна записати як | b – a |. Вираз же | a | + | b | дорівнює сумі абсолютних значень a і b, що більше, ніж b – a. Тому | a + b | <| a | + | b |.

Якщо b – негативне число, а a – позитивне, то | a + b | приймає вид | a – b |, що також менше суми модулів | a | + | b |.

Якщо a і b – негативні числа, то отримаємо | -a – b |. Результат цього виразу дорівнює | a + b | (т. К. | -a – B | = | – (a + b) | = | a + b |). Але вже було доведено, що | a + b | = | a | + | b |, отже і | -a – b | = | a | + | b |.

Доказ 2) | ab | = | a | × | b |:
Тут, на відміну від складання, розглядати всі випадки особливо не потрібно, т. К. Абсолютне значення твору будь-яких чисел (позитивних чи, негативних чи) не залежить від знаків множників. У виразі | ab | ми спочатку перемножуємо числа, а потім «відкидаємо» знак (негативний, якщо він є), у виразі | a | × | b | спочатку позбавляємося від знаків, а потім перемножуємо. Але від того, в який момент був узятий модуль (до або після множення), не залежить абсолютне значення твору.

Доказ 4) | a – b | ≥ | a | – | b |:

Якщо a і b – позитивні числа, то їх модулі збігаються з самими числами. Тому | a – b | = | a | – | b |, тому що можна не брати модулі взагалі і тоді з двох сторін отримаємо a – b.

Якщо a – позитивне число, а b – негативне, то вираз | a – b | набуде вигляду | a + b |, що більше, ніж | a | – | b |.

Якщо a – негативне число, а b – позитивне, то маємо | -a – b | = | – (a + b) | = | a + b |, що більше, ніж | a | – | b |.

Посилання на основну публікацію