Ціле рівняння та його корні

Цілими рівняннями називаються рівняння, у яких права і ліва частини є цілими виразами. Наприклад, наступні рівняння будуть цілими:

1. 2*(x2 + 1)*(x-1)=6*x-(x + 7);

2. (X4-1) / 4-(x2 + 1) / 2=3*x2

Виконаємо над цими рівняннями рівносильні перетворення: розкриємо дужки, наведемо подібні доданки. Отримаємо:

1. 2*x3-2*x2 + 2*x-2=6x-x-7

2*x3-2*x2 + 2*x-2-6*x + x + 7=0

2*x3-2*x2-3*x + 5=0.

2. x4-1-2*(x2 + 1)=12*x2

x4-1-2*x2-2=12*x2

x4-1-2*x2-2-12*x2=0

x4-14*x2-3=0.

В результаті отримали рівняння виду P (x)=0, де P (x)-многочлен в стандартному вигляді. Ступінь цього многочлена буде також бути ступенем рівняння.

Ступінь рівняння
Ступенем довільного рівняння буде називатися ступінь многочлена, отриманого з рівняння шляхом проведення рівносильних перетворень. Рівняння першого ступеня завжди будуть приводили до виду a*x + b=0, де х-деяка змінна, а й b-деякі числа, причому а не повинне дорівнювати нулю.

З цього рівняння отримуємо вираз для х.

х=-b / a.

Це число (-b / a) називається коренем рівняння. Рівняння першого ступеня буде мати один корінь. Коренем рівняння P (x)=0 називають будь-яке значення змінної х, таке, що многочлен P (x) звертається в нуль.

Рівняння другого ступеня завжди можна привести до вигляду a*x2 + b*x + x=0, де х-деяка незалежна змінна, а а, b, c-довільні числа, причому а не дорівнює нулю. Корені рівняння знаходяться за формулою x=(-b ±?D) / (2*a), де D=b2-4*a*c.

Вираз D (b2-4*a*c) називається дискриминантом. Залежно від того, яке значення має дискримінант, квадратне рівняння буде мати два або один корінь або не мати коренів.

Якщо дискримінант більше нуля, то рівняння має два кореня: (x=(-b ±?D) / (2*a)). Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має один корінь: (x=(-b / (2*a)). Якщо дискримінант від’ємний, то рівняння не має коренів.

Рівняння третього ступеня можна привести до вигляду a*x3 + b*x2 + c*x + d=0. Рівняння четвертого ступеня можна привести до вигляду a*x4 + b*x3 + c*x2 + d*x + e=0.

Будь-яке рівняння n-го ступеня має не більш n коренів. Формули для коріння рівнянь третього і четвертого ступеня відомі, але вони дуже складні. Для рівнянь великих ступенів формул коренів не існує.

Посилання на основну публікацію