Аксіомою називається математичне твердження, правильність або хибність якого приймається без доведення. У математиці існує багато різних аксіом. У різних підручниках можуть бути різні набори аксіом в різних формулюваннях. З метою унікалізації тексту (ця сторінка знаходиться в Інтернеті, а не в підручнику, тут зовсім інші правила), аксіоми викладені в довільному порядку в вільному викладі зі збереженням сенсу.
АКСІОМИ З’ЄДНАННЯ
- через дві будь-які точки можна провести тільки одну пряму;
- на кожній прямій може бути дві і більше точки; існує три і більше точок, що не лежать на одній прямій;
- існує чотири і більше точок, що не лежать в одній площині;
- якщо три точки не лежать в одній прямий, то через ці точки можна провести тільки одну площину;
- якщо дві точки прямої належать площині, то пряма лежить у цій площині;
- якщо площині мають одну спільну точку, значить вони мають і одну загальну пряму;
АКСІОМИ ПОРЯДКУ
- якщо яка був точка В розташована на прямій між двома іншими точками А і С, то вона також розташована між точками С і А; всі три точки А, В і С – це різні точки одній прямій;
- якщо у нас є три точки, що належать одній прямій, то одна і тільки одна точка лежить між двома іншими точками;
- якщо дві точки А і В лежать на одній прямій, то існує принаймні одна точка С, що лежить між точками А і В;
- пряма, яка перетинає одну зі сторін трикутника, але не проходить через його вершину, перетне одну з двох, що залишилися сторін трикутника.
Аксіоми конгруентності
- на будь-який прямий від будь-якої належить їй точки можна відкласти відрізок, рівний даному відрізку;
- якщо два відрізки рівні третього відрізку, то два перших відрізка рівні між собою;
- нехай прямий a належать точки А, В і С, а прямий b – точки K, L і M. Якщо AB = KL, BC = LM, то AC = KM. Ця аксіома вірна і для випадку, коли всі шість точок лежать на одній прямій, але відрізки AB і KL, BC і LM, AC і KM не мають спільних точок;
- кожен кут дорівнює самому собі; з будь-якої точки будь-якої прямої в дану сторону можна побудувати кут, рівний даному, і тільки один.
АКСІОМА про паралельні прямі
через дану точку в цій площині можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.
АКСІОМИ безперервної прямої
аксіома Архімеда: нехай дано два відрізки AB і CD такі, що AB більше CD. На одній прямій можна відкласти від точки A відрізок CD послідовно стільки раз, що вийде відрізок AN, більший або відрізку AB. Іншими словами, буде виконуватися рівність nCD = AB, (n-1) CD менше AB, де n – ціле число (число відрізків);
аксіома лінійної повноти: точки прямої лінії утворюють систему, яку не можна доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.